дано:
Пусть AB = a (длина) и BC = b (ширина)
Периметр прямоугольника ABCD: 2(a + b) = 24
найти:
Стороны прямоугольника ABCD.
решение:
1. Из периметра выразим сумму сторон:
a + b = 12.
2. Поскольку точка M — середина стороны BC, то ее координаты можно записать как M(0, b/2), если разместить прямоугольник в координатной плоскости так, что A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b).
3. Условие, что MA и MD взаимно перпендикулярны, означает, что их углы составляют 90 градусов.
4. Сначала найдем координаты точек:
- A(0, 0)
- M(a, b/2)
- D(0, b)
5. Найдем наклоны отрезков MA и MD:
- Наклон MA: (b/2 - 0)/(a - 0) = b/(2a)
- Наклон MD: (b/2 - b)/(a - 0) = -b/2
6. Для того чтобы эти две прямые были перпендикулярны, произведение их наклонов должно равняться -1:
(b/(2a)) * (-b/2) = -1.
7. Упростим уравнение:
-b^2 / (4a) = -1.
8. Умножим обе стороны на -4a:
b^2 = 4a.
9. Теперь подставим значение b из первого уравнения в уравнение для b^2:
b = 12 - a.
10. Подставляем:
(12 - a)^2 = 4a.
11. Раскроем скобки:
144 - 24a + a^2 = 4a.
12. Переносим все в одну сторону:
a^2 - 28a + 144 = 0.
13. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-28)^2 - 4 * 1 * 144 = 784 - 576 = 208.
14. Находим корни:
a = (28 ± sqrt(208)) / 2.
15. Вычислим sqrt(208):
sqrt(208) ≈ 14.42.
16. Теперь подставим в формулу:
a1 = (28 + 14.42) / 2 ≈ 21.21,
a2 = (28 - 14.42) / 2 ≈ 6.79.
17. Найдем соответствующее значение b для каждого значения a:
b1 = 12 - 21.21 ≈ -9.21 (недопустимо).
b2 = 12 - 6.79 = 5.21.
18. Окончательно имеем:
Стороны прямоугольника: a ≈ 6.79 м и b ≈ 5.21 м (с учетом положительных значений).
ответ:
Стороны прямоугольника ABCD: 6.79 м и 5.21 м.