Дано:
- Два равных ромба ABCD и AB1C1D1 с общей вершиной острого угла.
- Угол CAC1 равен 90°.
- Лучи BD и D1B1 пересекаются в точке E.
- O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD.
- OP — биссектрисa треугольника BOC.
Найти:
Докажите, что PA = PE.
Решение:
1. Поскольку ромбы ABCD и AB1C1D1 равны, то все их стороны равны, а также диагонали одинаковой длины. Обозначим сторону ромба как s, тогда AB = BC = CD = DA = A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = s.
2. Угол CAC1 равен 90°, что означает, что луч CA перпендикулярен лучу CA1.
3. Точка O является центром ромба ABCD, что значит, что AO = OC и BO = OD, соответственно, поскольку диагонали ромба делят его на четыре равные части.
4. Рассмотрим треугольник BOC. Известно, что OP — биссектрисa треугольника BOC, следовательно, она делит угол BOC пополам.
5. Из свойства биссектрисы следует, что отношение отрезков, на которые она делит противоположную сторону, равно отношению прилежащих сторон:
BO / OC = BP / PC
6. Поскольку ромбы равны, то BO = OC. Это значит, что BP = PC.
7. Теперь рассмотрим треугольник BEA и треугольник BE’A’. Эти треугольники равны, так как они имеют общую сторону BE и равные углы (угол CAE = угол C’A’E’).
8. Из равенства треугольников следует, что AE = AE’.
9. В результате, PA = PE, поскольку точка P лежит на биссектрисе angle BOC, и теорема о биссектрисе гарантирует равенство отрезков.
Ответ:
Доказано, что PA = PE.