Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Точки O, P и Q, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD, P находится на стороне AB, а Q — на стороне CD.
Найти:
Доказать, что отрезки BP и DQ равны.
Решение:
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. Это значит, что AO = OC и BO = OD.
2. Рассмотрим треугольники ABO и CDO.
3. Поскольку ABCD является параллелограммом, стороны AB и CD равны (AB = CD) и параллельны.
4. Угол AOB равен углу COD, так как они являются вертикальными углами.
5. Мы знаем, что BP и DQ — это отрезки, которые находятся внутри треугольников ABO и CDO соответственно и проходят через точку O.
6. Применим теорему о пропорциональных отрезках: если две параллельные прямые пересекают два других пересекающихся прямых, то отрезки, которые образуются на этих прямых, пропорциональны.
7. Так как PR и QS − это отрезки, находящиеся между параллельными прямыми AB и CD, и прямая PQ пересекает эти прямые в точках P и Q, имеем:
BP / PA = DQ / QC.
8. Поскольку OA = OC и OB = OD, можем записать:
BP / (AB - BP) = DQ / (CD - DQ).
9. Но так как AB = CD, у нас получается:
BP / (AB - BP) = DQ / (AB - DQ).
10. Из соотношения видно, что при равенстве AB и CD и одинаковом поведении отрезков BP и DQ получаем, что BP = DQ.
11. Таким образом, мы доказали, что отрезки BP и DQ равны.
Ответ:
Отрезки BP и DQ равны.