дано:
Параллелограмм ABCD, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке M, а сторону DC в точке N.
найти:
Докажите, что BM = DN.
решение:
1. Пусть точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Из свойств параллелограмма известно, что диагонали делят друг друга пополам, то есть:
AO = OC и BO = OD.
2. Прямая, проведенная через точку O и пересекающая стороны AB и DC в точках M и N, является секущей, делящей отрезки AB и DC на две части.
3. Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам в точке O, а секущая проходит через эту точку, то отрезки, которые она создает на сторонах AB и DC, будут равны.
4. Рассмотрим треугольники BMO и DNO. В этих треугольниках:
- угол ∠BMO = угол ∠DNO (так как они являются вертикальными углами),
- отрезки BO = DO (поскольку точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма),
- отрезки MO = NO (поскольку точка O делит эти отрезки пополам).
5. Таким образом, треугольники BMO и DNO равны по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
6. Из равенства этих треугольников следует, что BM = DN.
ответ:
BM = DN.