Через  точку  пересечения  диагоналей  параллелограмма  ABCD  проведена  прямая,  пересекающая  сторону  AВ  в  точке  М,  а  сторону  DС  в  точке  N. Докажите,  что  ВМ = DN
от

1 Ответ

дано:  
Параллелограмм ABCD, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке M, а сторону DC в точке N.

найти:  
Докажите, что BM = DN.

решение:  
1. Пусть точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Из свойств параллелограмма известно, что диагонали делят друг друга пополам, то есть:  
   AO = OC и BO = OD.

2. Прямая, проведенная через точку O и пересекающая стороны AB и DC в точках M и N, является секущей, делящей отрезки AB и DC на две части.

3. Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам в точке O, а секущая проходит через эту точку, то отрезки, которые она создает на сторонах AB и DC, будут равны.

4. Рассмотрим треугольники BMO и DNO. В этих треугольниках:
   - угол ∠BMO = угол ∠DNO (так как они являются вертикальными углами),
   - отрезки BO = DO (поскольку точка O — точка пересечения диагоналей параллелограмма),
   - отрезки MO = NO (поскольку точка O делит эти отрезки пополам).

5. Таким образом, треугольники BMO и DNO равны по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства этих треугольников следует, что BM = DN.

ответ:  
BM = DN.
от