Дано:
Периметр трапеции P = 80, площадь S = 320.
Найти:
а) высоту трапеции.
б) расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.
Решение:
1. В равнобедренной трапеции ABCD обозначим основание AB как a, основание CD как b, боковые стороны AD и BC как c.
2. Периметр равен:
P = a + b + 2c.
Подставим значение периметра:
a + b + 2c = 80. (1)
3. Площадь равнобедренной трапеции вычисляется по формуле:
S = (a + b) * h / 2,
где h — высота. Также подставляем значение площади:
(a + b) * h / 2 = 320.
Умножим обе стороны на 2:
(a + b) * h = 640. (2)
4. Из уравнения (1) выражаем c:
c = (80 - a - b) / 2.
5. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, выполняется условие:
a + b = 2c.
6. Подставим ранее найденное c:
a + b = 2 * ((80 - a - b) / 2).
7. Упростим:
a + b = 80 - a - b,
2(a + b) = 80,
a + b = 40. (3)
8. Теперь подставим (3) в (2):
40 * h = 640.
9. Отсюда найдем h:
h = 640 / 40 = 16.
Ответ:
а) Высота трапеции составляет 16.
Теперь найдем расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.
1. Пусть AB = a и CD = b, где a < b.
2. Используя (3), мы знаем, что a + b = 40.
3. Обозначим меньшую сторону AB = a, тогда б = 40 - a.
4. В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований:
D = (AB / (AB + CD)) * h = (a / 40) * h.
5. Подставим значение h = 16:
D = (a / 40) * 16 = 16a / 40 = 2a / 5.
Для определения a можем использовать условие, что c = (80 - a - b) / 2 и равен a/2, так как c = (b - a)/2.
Сложим все полученные соотношения и выразим a или b. После этого подставим значение a в D.
Пусть a = x, тогда b = 40 - x.
Таким образом, с учетом симметрии мы можем выразить точку D в виде:
D = 2x / 5, где x = a.
Проведя заключительный расчет, мы получим значение D в зависимости от меньшего основания.
Ответ:
б) Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания составляет 2a / 5.