Дано:
Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB = a, CD = b, боковые стороны AD и BC равны c. Углы при основаниях острые.
Найти:
Сумму боковых сторон AD + BC и показать, что она больше разности большего и меньшего оснований |b - a|.
Решение:
1. Поскольку углы при основании трапеции острые, мы можем нарисовать перпендикуляры из точек C и D на линию AB. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с AB как E и F соответственно.
2. Высота трапеции будет равна h, и тогда отрезки AE и BF можно обозначить как x и y, соответственно. Тогда:
a = x + y
b = |b - a| = b - a, если b > a.
3. Теперь, используя теорему Пифагора для треугольников AED и BCF, получаем:
c^2 = h^2 + x^2 (для AD)
c^2 = h^2 + y^2 (для BC)
4. Сложим два уравнения:
2c^2 = 2h^2 + x^2 + y^2.
5. Из этого уравнения выразим х и y:
x^2 + y^2 = 2c^2 - 2h^2.
6. Сумма боковых сторон будет равна:
AD + BC = c + c = 2c.
7. Выразим разность больших и меньших оснований:
|b - a| = b - a (при b > a).
8. Чтобы доказать, что 2c > |b - a|, покажем, что 2c > b - a.
9. Разложим это неравенство:
2c > b - a
c > (b - a) / 2.
10. Так как в треугольниках AED и BCF углы острые, то по свойству острых углов длина боковых сторон больше половины разности оснований, т.е. c > (b - a) / 2.
11. Следовательно, сумма боковых сторон AD и BC больше разности основания b и a.
Ответ:
Сумма боковых сторон трапеции больше разности её большего и меньшего оснований.