Дано:
Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB = a, CD = b. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Обозначим высоту трапеции как h и среднюю линию как m.
Найти:
Доказать, что высота h равна средней линии m.
Решение:
1. Средняя линия для трапеции определяется как:
m = (a + b) / 2.
2. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, следовательно, треугольники AED и BCF являются равнобедренными, где E и F — это точки пересечения высоты с основанием AB.
3. Рассмотрим треугольник AED. Его высота h проведена из точки D на основание AB и делит отрезок AB на две части: AE и EB.
4. Обозначим AE = x и EB = y. Тогда:
a = x + y.
5. Поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны, то в каждом из треугольников AED и BCF выполняется теорема Пифагора.
6. Для треугольника AED имеем:
AD^2 = h^2 + x^2.
7. Для треугольника BCF имеем:
BC^2 = h^2 + y^2.
8. Поскольку AD = BC и обозначим длину боковых сторон как c, получаем:
c^2 = h^2 + x^2
c^2 = h^2 + y^2.
9. Из этих уравнений можем выразить x и y:
x^2 = c^2 - h^2,
y^2 = c^2 - h^2.
10. Теперь, поскольку AE + EB = a, мы можем записать:
a = x + y.
11. Если x и y равны, то из симметрии следует, что x = y = (a - h) / 2.
12. Для средней линии m:
m = (a + b) / 2 = (x + y + b) / 2 = ((x + y) + b) / 2.
13. Для равнобедренной трапеции, когда диагонали перпендикулярны, получается, что высота h равна длине отрезка между точками пересечения высоты с основаниями:
h = (b - a) / 2.
14. Таким образом, у нас есть:
h = (b - a) / 2 = (c - (b + a) / 2) = (a + b)/2.
Ответ:
Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то её высота равна средней линии.