Дано:
- Основание AD = 49 м.
- Основание BC = 21 м.
- Сумма углов при основании AD равна 90°.
- Длина отрезка AB = 20 м.
Найти:
- Радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD.
Решение:
1. Поскольку сумма углов при основании AD равна 90°, это означает, что угол A + угол D = 90°. Без утраты общности, пусть угол A = 90° - угол D.
2. Обозначим высоту трапеции, проведённую из точки A на основание BC, как h.
3. Известно, что в трапеции с основаниями AD и BC, имеем:
х1 + х2 = AD - BC = 49 - 21 = 28 м,
где х1 и х2 – проекции боковых сторон на основание AD.
4. Направление отрезка AB образует треугольник ABD, где:
- AB = 20 м,
- AD = 49 м (основание),
- h = разность высот.
5. Используем теорему Пифагора для нахождения h:
h^2 + (x1)^2 = AB^2,
откуда x1 = (AD - BC)/2 = 28/2 = 14 м.
То есть у нас получается:
h^2 + 14^2 = 20^2.
6. Теперь подставим значения:
h^2 + 196 = 400.
Следовательно:
h^2 = 400 - 196 = 204.
Находим h:
h = sqrt(204) = 14.28 м (приблизительно).
7. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, можно найти по формуле:
R = (AB / (2 * sin(C))),
где C – угол между сторонами OA и OB. В данном случае угол C = 90°.
8. Так как sin(90°) = 1, формула упрощается:
R = AB / 2 = 20 / 2 = 10 м.
Ответ:
Радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен 10 м.