Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Точки K и L — середины сторон AB и BC соответственно.
- На стороне CD выбрана точка M такая, что CM : DM = 2 : 1.
- Прямые DK || BM и AL || CD.
Найти:
- Докажите, что четырёхугольник ABCD является трапецией.
Решение:
1. Поскольку K и L — середины отрезков AB и BC, то по свойству срединного параллелограмма можем записать, что KL || AC и KL = (1/2) * AC.
2. Условие DK || BM говорит о том, что стороны DK и BM равны по наклону. Это значит, что если мы проведем линию через точки D и K и линию через точки B и M, они будут параллельны.
3. Также условие AL || CD указывает на то, что линии AL и CD также равны по наклону, что означает, что они располагаются на одной прямой.
4. Рассмотрим треугольник CMD, где CM : DM = 2 : 1. Это соотношение говорит нам о том, что точка M делит отрезок CD в пропорции 2:1, что создает специальное отношение между сторонами треугольника.
5. Поскольку DK || BM и AL || CD, можно утверждать, что если провести параллельные линии, это создаст подобие между треугольниками, образованными точками A, B, C и D. То есть углы при вершинах D и B будут равны, а также углы при A и C.
6. Следовательно, так как противоположные стороны AB и CD являются параллельными, четырехугольник ABCD будет соответствовать определению трапеции, где одна из пар противоположных сторон является параллельной.
Ответ:
Четырехугольник ABCD является трапецией.