Дано:
- Средняя линия трапеции делится диагоналями на три равные части.
Найти:
- Отношение оснований трапеции.
Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a и b, где a – меньшее основание, b – большее основание. Средняя линия L трапеции вычисляется по формуле:
L = (a + b) / 2.
2. Поскольку средняя линия делится диагоналями на три равные части, это означает, что расстояние от точки пересечения диагоналей до концов средней линии равно одной трети длины средней линии.
3. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда:
AO = OB = OC = OD = L / 3,
где A и B – концы диагоналей.
4. Из свойств трапеции следует, что отношение длин оснований прямо связано с длиной средней линии. Если обозначить отношения оснований как k = b/a, то можно записать:
L = (a + k*a) / 2 = (1 + k)*a / 2.
5. Поскольку средняя линия делится на три равные части, мы имеем:
L / 3 = ((1 + k) * a) / 6.
6. Это также можно выразить, зная, что длина отрезков AO и OB в треугольнике будет пропорциональна основаниям. Таким образом, получается соотношение:
(b - a) / (a + b) = 1 / 2.
7. Упрощаем это уравнение:
2(b - a) = a + b,
2b - 2a = a + b,
2b - b = 2a + a,
b = 3a.
8. Следовательно, отношение оснований трапеции будет:
k = b/a = 3a/a = 3.
Ответ:
Отношение оснований трапеции равно 3:1