Дано:
- Трапеция ABCD с основанием AD.
- Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P.
- Биссектрисы внешних углов при вершинах C и D пересекаются в точке Q.
Найти:
- Доказать, что длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции ABCD.
Решение:
1. Обозначим длины сторон трапеции:
- AB = a,
- BC = b,
- CD = c,
- DA = d.
2. Полупериметр трапеции обозначим как s:
s = (a + b + c + d) / 2.
3. Рассмотрим свойства внешних биссектрис. Биссектрисы внешних углов делят противоположные стороны на отрезки, пропорциональные длинам смежных сторон.
4. Для точки P (пересечение биссектрис внешних углов A и B):
- Отрезок AP будет делиться на части, пропорциональные сторонам AD и AB:
AP / PD = AD / AB = d / a.
5. Аналогично, для точки Q (пересечение биссектрис внешних углов C и D):
- Отрезок CQ будет делиться на части, пропорциональные сторонам CD и BC:
CQ / DQ = CD / BC = c / b.
6. Из свойств подобия треугольников, образованных биссектрисами, получаем:
PQ = AP + AQ = (AD + AB + CD + BC) / 2.
7. Подставим значения сторон:
PQ = (d + a + c + b) / 2.
8. Таким образом, мы видим, что:
PQ = (AB + BC + CD + DA) / 2 = s.
Ответ:
Длина отрезка PQ равна полупериметру трапеции ABCD.