Дано:
- Два четырёхугольника ABCD и EFGH.
Найти:
- Условия подобия четырёхугольников ABCD и EFGH.
Решение:
1. Подобие четырёхугольников означает, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
2. Для доказательства того, что два четырёхугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями, рассмотрим два случая: необходимость и достаточность.
Необходимость:
3. Пусть четырёхугольники ABCD и EFGH подобны. Тогда по определению у них равны соответствующие углы:
∠A = ∠E,
∠B = ∠F,
∠C = ∠G,
∠D = ∠H.
4. Рассмотрим диагонали AC и EG. Поскольку углы при этих диагоналях также являются соответственными, то:
∠ACB = ∠EFD и ∠CAD = ∠EGH.
5. Аналогично, для второй пары диагоналей BD и FH можно показать, что:
∠BDC = ∠FHG и ∠BAD = ∠EHF.
6. Таким образом, равенство всех четырёх углов и соответственных углов между диагоналями выполнено.
Достаточность:
7. Пусть у четырёхугольников ABCD и EFGH равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями (например, ∠A = ∠E и ∠ACB = ∠EFD).
8. Из равенства углов следует, что треугольники, образованные диагоналями и сторонами четырёхугольников, подобны.
9. Это также приводит к тому, что если у нас есть две пары соответственных углов, то остальные углы будут равны, поскольку сумма углов в любом четырёхугольнике равна 360 градусов.
10. На основании равенства углов можем заключить, что стороны четырёхугольников пропорциональны.
11. Следовательно, четырёхугольники ABCD и EFGH подобны.
Ответ:
Два четырёхугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.