дано:
Два равнобедренных треугольника ABC и DEF, где:
- Треугольник ABC имеет основание AB и равные стороны AC = BC.
- Треугольник DEF имеет основание DE и равные стороны DF = EF.
найти:
Докажите, что эти треугольники подобны, если равны соответствующие углы.
решение:
а) Угол при вершинах напротив основания:
1. Обозначим углы:
- Углы при вершинах треугольника ABC: угол ACB и угол ABC.
- Углы при вершинах треугольника DEF: угол DFE и угол DEF.
2. По условию задачи имеем:
угол ACB = угол DFE и угол ABC = угол DEF.
3. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны:
угол CAB = угол CBA и угол EDF = угол EFD.
4. Таким образом, мы имеем три пары равных углов:
угол CAB = угол EDF,
угол ABC = угол DEF,
угол ACB = угол DFE.
5. По теореме о подобии треугольников (по трём углам) треугольники ABC и DEF подобны.
б) Угол при основаниях:
1. Обозначим углы:
- Углы при основаниях треугольника ABC: угол CAB и угол CBA.
- Углы при основаниях треугольника DEF: угол EDF и угол EFD.
2. По условию задачи имеем:
угол CAB = угол EDF и угол CBA = угол EFD.
3. Поскольку углы при вершинах равнобедренного треугольника равны, то:
угол ACB + угол CAB + угол ABC = 180 градусов.
угол DFE + угол EDF + угол EFD = 180 градусов.
4. Это указывает на то, что в каждом треугольнике сумма углов составляет 180 градусов.
5. Следовательно, также есть 3 пары равных углов (как в пункте а):
угол CAB = угол EDF,
угол ABC = угол DEF,
угол ACB = угол DFE.
6. На основании этого можем утверждать, что треугольники ABC и DEF подобны по теореме о подобии треугольников (по трём углам).
ответ:
Доказано, что два равнобедренных треугольника подобны, если равны соответствующие углы:
а) при вершинах напротив основания этих треугольников;
б) при основаниях этих треугольников.