Дано:
1. Треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.
2. Точка D на отрезке AB, такая что BD = AD = 4.
Найти: расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AB = AC = c, тогда BC = a.
2. Так как треугольник равнобедренный, то отрезок AD = 4 и BD = 4, следовательно, AB = AD + DB = 4 + 4 = 8. Значит, c = 8.
3. Определим координаты точек:
- Пусть A(0, 0), B(8, 0), C(4, h), где h — высота треугольника из точки C на основание AB.
- Точка D будет находиться по координатам D(4, 0).
4. Для того чтобы найти расстояние между точками касания окружностей, нужно определить радиусы вписанных окружностей для треугольников ACD и BCD.
5. Площадь треугольника ACD:
- Полупериметр p_ACD = (AC + CD + AD) / 2
- Длина AC = c = 8, DC = sqrt((4-4)^2 + (h-0)^2) = h, AD = 4.
- p_ACD = (8 + h + 4) / 2 = (12 + h) / 2.
6. Площадь P_ACD = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 4 * h = 2h.
7. Теперь найдем r_ACD (радиус вписанной окружности):
- r_ACD = P_ACD / p_ACD = (2h) / ((12 + h) / 2) = (4h) / (12 + h).
8. Аналогично для треугольника BCD:
- Площадь P_BCD = (1/2) * CD * h = (1/2) * 4 * h = 2h.
- Полупериметр p_BCD = (BC + CD + BD) / 2 = (a + 4 + 4) / 2 = (a + 8) / 2.
- Радиус r_BCD = P_BCD / p_BCD = (2h) / ((a + 8) / 2) = (4h) / (a + 8).
9. Находим расстояние между точками касания окружностей:
- Расстояние d = r_ACD + r_BCD = (4h) / (12 + h) + (4h) / (a + 8).
- Принимаем, что a = BC = 8 (так как треугольник равнобедренный и BD = AD = 4).
10. Подставляем a в формулу:
- d = (4h) / (12 + h) + (4h) / (16).
Ответ:
Расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, определяется как сумма радиусов этих окружностей. Для конкретных значений h и a вы сможете получить численное значение d.