Дано: треугольник ABC, медиана из вершины A пересекает окружность, описанную около треугольника, в точке D. Дано, что AC = DC = 1.
Найти: длину стороны BC.
Решение:
1. Поскольку D является продолжением медианы AD и AC = DC = 1, то можно выразить следующие отрезки:
- AC = 1
- CD = 1 (поскольку AC = DC)
2. Обозначим BC как x. Тогда BD будет равно половине x:
BD = x / 2.
3. В треугольнике ABD применим теорему о медиане. Медиана делит сторону BC на две равные части. Следовательно, длина отрезка AB может быть найдена с помощью формулы для медианы m, проведенной из вершины треугольника:
m = sqrt((2AB^2 + 2AC^2 - BC^2) / 4).
4. В нашем случае медиана AD = AM, где M — середина отрезка BC. Также известно, что AC = 1, поэтому:
m = (1 + 1 + x^2 / 4).
5. Чтобы найти длину BC, воспользуемся свойством симметрии треугольника. Так как AC = 1, а DC = 1, D будет находиться на продолжении AC.
6. Учитывая, что амплитуда угла BAC остается постоянной, можем сказать, что длина BC равна двойному значению AB. Таким образом:
x = 2 * AC = 2 * 1 = 2.
Ответ: длина стороны BC равна 2.