Дано: окружность S с диаметром AB, точка C на окружности, перпендикуляр CH к прямой AB, радиус окружности S1 с центром в C и радиусом CH.
Найти: доказать, что общая хорда окружности S и окружности S1 делит отрезок CH пополам.
Решение:
1. Обозначим точки D и E как точки пересечения хорды, образованной общими точками окружностей S и S1, с отрезком CH. Нам нужно доказать, что CD = CE.
2. Поскольку A и B - концы диаметра, центр окружности S будет находиться в середине отрезка AB, обозначим его O. По свойству окружности, угол ACB будет равен 90 градусам.
3. Так как CH является высотой из точки C на основание AB, то треугольник ACB является прямоугольным. Следовательно, согласно теореме Пифагора для треугольника ACB:
AC^2 + CH^2 = AB^2.
4. В окружности S1, находящейся с центром в точке C, радиус CH равен расстоянию от C до точки H на прямой AB. Следовательно, длина отрезка CH равна r, где r - радиус окружности S1.
5. Общая хорда DE окружностей S и S1 пересекает отрезок CH в точке M. Для того чтобы доказать, что M делит отрезок CH пополам, представим, что M - это середина отрезка CH.
Тогда CM = MH.
6. Рассмотрим прямоугольные треугольники CMD и CMH. Поскольку CD и CE являются перпендикулярами к линии CH (по определению), то по теореме о равных углах, у нас будет два равных треугольника, следовательно:
CD = CE.
7. Таким образом, получается, что точка M действительно делит отрезок CH пополам:
CM = MH.
Ответ: общая хорда окружности S и окружности S1 делит отрезок CH пополам.