Дано:
Параллелограмм ABCD, где M - середина стороны AD. Вершина B соединена с точкой M. Из вершины C опущен перпендикуляр CH на отрезок BM.
Найти:
Докажите, что HD = DC.
Решение:
1. Обозначим длины сторон параллелограмма. Пусть AB = a и BC = b. Поскольку ABCD — параллелограмм, то AD = BC = b и CD = AB = a.
2. Поскольку M - середина стороны AD, то AM = MD = (1/2) * b.
3. В треугольнике CBM проведем перпендикуляр CH. Это значит, что угол CBH равен 90 градусов.
4. Рассмотрим треугольник CHD и его проекции. По свойству перпендикуляров и теореме о прямоугольном треугольнике можно записать следующее:
CH^2 + HD^2 = CD^2.
5. Также в треугольнике CBM по теореме Пифагора:
CH^2 + BM^2 = BC^2.
6. Учитывая, что D находится на той же вертикали, что и H, и M является серединой, мы можем утверждать, что BM = AM = (1/2) * b.
7. Таким образом, из уравнений для треугольников CHD и CBM получаем:
CD = b и BM = (1/2) * b.
8. Теперь подставим значения в уравнение для треугольника CHD:
CH^2 + HD^2 = a^2.
9. И в уравнение для треугольника CBM:
CH^2 + ((1/2)*b)^2 = b^2.
10. Из этих двух уравнений следует, что:
HD^2 = CD^2.
11. Так как CD = a и по условию HD = x, то x = a.
12. Следовательно, HD = DC, так как обе части равны.
Ответ:
Доказано, что HD = DC, поскольку основание параллелограмма и высота, проведенная из вершины C к середине стороны AD, образуют равные отрезки.