Дано:
Неравнобокая трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Окружность, проходящая через точки C и D, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали в точках M и N.
Найти:
Докажите, что прямые PQ, MN и AB пересекаются в одной точке.
Решение:
1. Обозначим углы:
- Угол CPQ будет равен углу CAD по свойству вписанной окружности.
- Угол DQP будет равен углу CBD по тому же свойству.
2. Поскольку AB || CD (по определению трапеции), то:
- Углы при основании равны: угол CAB = угол DAB и угол ABC = угол ADC.
3. Из этого следует, что:
- Угол CPQ + угол CAB = 180 градусов (сумма углов на одной стороне),
- Угол DQP + угол ABC = 180 градусов.
4. Теперь рассмотрим треугольники CMP и DQN:
- Углы CMP и DQN также будут равны соответственно углам CAB и ABC, так как они являются вертикальными.
5. Мы можем записать:
- Угол PMN = угол CPQ и угол QNM = угол DQP.
6. Таким образом, мы имеем:
- Угол PMN + угол CAB = 180 градусов,
- Угол QNM + угол ABC = 180 градусов.
7. Это значит, что прямые PQ и MN находятся в одном положении относительно прямой AB:
- Если углы PMN и QNM являются соответственными углами к углам CAB и ABC, то прямые PQ и MN пересекают AB.
8. Следовательно, по теореме о пересечении трех линий, все три прямые PQ, MN и AB пересекаются в одной точке.
Ответ:
Прямые PQ, MN и AB пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.