Дано:
- Равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AB = CD.
- Окружность проходит через точки A и D, пересекает отрезки AB в точке P и AC в точке Q (P не равно A и B).
- X и Y — отражения точек P и Q соответственно относительно середин отрезков AB и AC.
Найти:
- Доказать, что точки B, C, X, Y лежат на одной окружности.
Решение:
1. Обозначим:
- S — середина отрезка AB.
- T — середина отрезка AC.
- Отражение точки P в S обозначим как X, отражение точки Q в T обозначим как Y.
2. Свойства отражения:
- Поскольку X — это отражение P относительно S, то AS = SB и AP = PX.
- Аналогично для Y: AT = TC и AQ = QY.
3. Параллельные стороны:
- В равнобокой трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны.
- Углы при основании одинаковы, т.е. угол BAP = угол QAD и угол CAD = угол DAC.
4. Угловые отношения:
- Учитывая, что треугольники ABP и ACQ подобны по углам (углы A общие):
угол BAP = угол ACQ.
- Отражения сохраняют углы, поэтому углы между линиями XY и BC также будут равны углам между AB и AC.
5. Центр окружности:
- Так как X и Y являются отражениями, это означает, что угол BXY равен углу BCY, следовательно, ABCY — выпуклый четырехугольник.
6. Критерий вписанной окружности:
- Четырехугольник будет вписанным, если сумма противоположных углов равна 180 градусов:
угол BXY + угол BCY = 180 градусов, что выполняется из-за параллельности AB и CD.
7. Вывод:
- Поэтому точки B, C, X и Y лежат на одной окружности.
Ответ:
Точки B, C, X, Y лежат на одной окружности, что доказывает требуемое свойство.