Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым. Обозначим длины сторон: AB - гипотенуза, AC и BC - катеты. Пусть M - середина отрезка AB.
Найти:
Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, совпадает с точкой M.
Решение:
1. По определению, центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке, равновидной относительно всех трех вершин треугольника. В случае прямоугольного треугольника, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
2. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, по теореме о вписанном угле мы знаем, что угол ACB равен 90 градусов.
3. Рассмотрим радиус R описанной окружности. Он равен половине длины гипотенузы:
R = AB / 2.
4. Теперь найдём координаты точек A, B и C. Предположим, что:
A(0, 0),
B(a, 0),
C(0, b).
5. Тогда длина гипотенузы AB будет равна:
AB = √((a - 0)² + (0 - 0)²) = a.
6. Середина отрезка AB будет находиться в точке M:
M((0 + a)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0).
7. Чтобы найти расстояние от точки C до точки M, используем формулу расстояния:
CM = √((a/2 - 0)² + (0 - b)²) = √((a²/4) + b²).
8. Теперь найдем расстояние от точки C до точек A и B:
CA = √((0 - 0)² + (0 - b)²) = b,
CB = √((a - 0)² + (0 - b)²) = √(a² + b²).
9. Так как треугольник ABC прямоугольный, по теореме Пифагора имеем:
AB² = AC² + BC², что означает, что:
(√(a² + b²))² = b² + (a²),
AB = √(a² + b²).
10. Все три расстояния от точки C до точек A, B и M равны радиусу R, если M является центром окружности.
11. Таким образом, получается, что расстояние CM равно CA и CB, то есть точка M является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Ответ:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы.