Дано:
Угол ABC, равный 120 градусов. Длину отрезков AB и BC равную 4.
Найти:
Радиус окружности, проходящей через точки A, B и C.
Решение:
1. Обозначим точки: A, B, C, где AB = 4, BC = 4, угол ABC = 120°.
2. Для решения задачи воспользуемся формулой радиуса окружности, описанной вокруг треугольника:
R = (abc) / (4 * S),
где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.
3. Сначала найдем длину стороны AC. Воспользуемся косинусом угла ABC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(ABC).
4. Подставляем известные значения в формулу:
AC² = 4² + 4² - 2 * 4 * 4 * cos(120°).
cos(120°) = -1/2, поэтому:
AC² = 16 + 16 + 16 = 48.
AC = √48 = 4√3.
5. Теперь у нас есть все стороны треугольника:
a = AC = 4√3,
b = AB = 4,
c = BC = 4.
6. Найдем площадь треугольника S с помощью формулы Герона:
полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (4√3 + 4 + 4) / 2 = 2√3 + 4.
7. Площадь S можно найти по формуле:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).
8. Подставляем значения:
S = √((2√3 + 4) * (2√3 + 4 - 4√3) * (2√3 + 4 - 4) * (2√3 + 4 - 4)).
Упрощаем:
S = √((2√3 + 4) * (4 - 2√3) * (2√3) * (2√3)).
9. Упростим выражение:
S = √((2√3 + 4) * (4 - 2√3) * 12).
10. После вычислений получим S. Однако проще будет использовать формулу для площади треугольника через сторону и угол:
S = (AB * BC * sin(ABC)) / 2,
S = (4 * 4 * sin(120°)) / 2.
sin(120°) = √3 / 2, поэтому:
S = (16 * √3 / 2) / 2 = 4√3.
11. Теперь подставим S и длины сторон a, b, c в формулу для R:
R = (4 * 4 * 4√3) / (4 * 4√3) = 4 / 3.
Ответ:
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 4 / 3.