Дано:
Окружность радиуса R. Точка A лежит на окружности. Из точки A проведены диаметр и хорда AB, равная радиусу R.
Найти:
Угол между диаметром и хордой AB.
Решение:
1. Обозначим точку O как центр окружности. Поскольку AB - это хорда, которая равна радиусу, то AB = R.
2. Из точки A проведем диаметр OC. По определению, угол, вписанный в окружность, который опирается на диаметр, равен 90 градусам.
3. Рассмотрим треугольник OAB, где O - центр окружности, A - точка на окружности, B - точка на окружности, через которую проходит хорда AB.
4. В этом треугольнике OA = R (радиус), OB = R (радиус), AB = R (дано).
5. Поскольку OA и OB – радиусы окружности, то треугольник OAB является равнобедренным.
6. Обозначим угол AOB через α. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:
∠OAB = ∠OBA = (180° - α) / 2.
7. Используем закон косинусов для треугольника OAB:
AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(α).
Подставляя известные значения:
R² = R² + R² - 2 * R * R * cos(α).
Упростим:
R² = 2R²(1 - cos(α)).
Делим обе стороны на R²:
1 = 2(1 - cos(α)).
Отсюда:
1 = 2 - 2cos(α).
2cos(α) = 2 - 1,
cos(α) = 1/2.
8. Угол α, для которого cos(α) = 1/2, равен 60 градусам.
9. Поскольку угол между диаметром (OC) и хордой (AB) в точке A равен половине угла AOB, то угол между диаметром и хордой равен α/2.
10. Таким образом, угол между диаметром и хордой AB составляет:
угол = 60° / 2 = 30°.
Ответ:
Угол между диаметром и хордой равен 30 градусов.