Дано:
В круге две взаимно перпендикулярные хорды. Одна из них делит другую на два отрезка длиной 3 и 7.
Найти:
Расстояние от центра окружности до каждой хорды.
Решение:
1. Обозначим длину первой хорды, которая делится на два отрезка, как AB. Тогда AB = 3 + 7 = 10.
2. Обозначим точку пересечения двух хорд как O. Пусть расстояние от центра окружности до хорды AB равно d1, а до хорды CD (вторая хорда) равно d2.
3. В соответствии с теоремой о хордах, для любой хорды можно использовать следующее соотношение:
r² = d² + (l/2)²,
где r - радиус окружности, d - расстояние от центра окружности до хорды, а l - длина хорды.
4. Для хорды AB, которая равна 10:
r² = d1² + (10/2)²,
r² = d1² + 5²,
r² = d1² + 25. (Уравнение 1)
5. Рассмотрим вторую хорду CD. Поскольку хорды взаимно перпендикулярны, длина отрезков, на которые они делят друг друга, будет равна 3 и 7 соответственно. Значит длина второй хорды CD равна 3 + 7 = 10.
6. Поскольку обе хорды соотносятся по длине, то у нас есть аналогичное уравнение для второй хорды:
r² = d2² + (10/2)²,
r² = d2² + 5²,
r² = d2² + 25. (Уравнение 2)
7. Так как обе хорды имеют одинаковую длину, и они взаимно перпендикулярны, мы можем утверждать, что d1 = d2.
8. Подставим d1 в уравнение 1 и d2 в уравнение 2. Получаем:
d1² + 25 = d2² + 25.
9. Таким образом, мы видим, что d1 = d2, и можно обозначить их как d.
10. Зная, что каждая из хорды делится на два отрезка, можно найти d из одного из уравнений:
r² = d² + 25.
11. Чтобы решить систему, мы можем выразить r через d:
r² - 25 = d².
12. Используя Pythagorean theorem для треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и расстоянием до нее, можем получить:
d = sqrt(r² - 25).
Ответ:
Расстояние от центра окружности до каждой хорды равно 4.