дано:
- окружность с центром O и радиусом R.
- два различных диаметра AB и CD, пересекающиеся в центре O.
найти:
доказать, что концы двух различных диаметров A, B, C и D являются вершинами прямоугольника.
решение:
1. По определению, диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Значит, точки A и B находятся на окружности, так же как и точки C и D.
2. Известно, что угол, который образуется при проведении двух радиусов к концам одного диаметра, равен 180°. Поскольку AB и CD — диаметры, то углы AOB, BOC, COD и DOA также равны 180°.
3. Рассмотрим четыре угла, образованные радиусами OA, OB, OC и OD:
- угол AOB = 180°,
- угол COD = 180°,
- угол AOD = 90° (поскольку AO и CO перпендикулярны),
- угол BOC = 90° (поскольку BO и DO перпендикулярны).
4. Таким образом, угол AOB + угол BOC = 180° и угол AOD + угол COD = 180°. Это означает, что противоположные углы равны между собой, а сумма смежных углов равна 180°.
5. Следовательно, фигура ABCD является четырёхугольником, у которого противоположные углы равны, что указывает на то, что А, B, C и D могут образовать прямоугольник.
6. Кроме того, все стороны AB и CD равны радиусу окружности, что также подтверждает равные длины противолежащих сторон.
ответ:
Концы двух различных диаметров окружности A, B, C и D являются вершинами прямоугольника, так как противоположные углы равны и все стороны равны.