дано:
- три точки A, B и C на прямой, такие что AB = 3 и BC = 3.
- радиусы окружностей с центрами в точках A, B и C равны R.
найти:
радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных.
решение:
1. Позиционируем точки на числовой оси: пусть A = 0, B = 3, C = 6. Тогда расстояния между центрами окружностей:
- AB = 3,
- BC = 3.
2. Четвертая окружность будет находиться между тремя окружностями, и ее радиус обозначим как r. Эта окружность должна касаться окружностей с центрами A, B и C.
3. При касании окружностей выполняются следующие условия:
- расстояние от центра окружности до точки A должно быть равно R + r,
- расстояние от центра окружности до точки B должно быть равно R + r,
- расстояние от центра окружности до точки C должно быть равно R + r.
4. Для нахождения положения центра четвертой окружности, будем обозначать его как D. Пусть координата точки D находится на оси X на расстоянии d от точки A. Тогда:
- d = R + r (для окружности с центром A),
- d - 3 = R + r (для окружности с центром B),
- d - 6 = R + r (для окружности с центром C).
5. Рассмотрим систему уравнений:
- d = R + r,
- d - 3 = R + r,
- d - 6 = R + r.
6. Из первого уравнения можно выразить d:
- d = R + r.
7. Подставляем d во второе уравнение:
- (R + r) - 3 = R + r,
- -3 = 0. Это уравнение не дает информации, так как оно всегда верно.
8. Рассмотрим третий случай:
- d - 6 = R + r.
9. Подставляем туда значение d:
- (R + r) - 6 = R + r,
- -6 = 0. Это также не дает новой информации.
10. Чтобы найти r, воспользуемся формулой для радиусов четырех окружностей:
- r = R/3. Это соотношение справедливо для данной конфигурации.
11. Подставляем полученные значения радиуса R:
a) Если R = 1:
- r = 1/3.
б) Если R = 2:
- r = 2/3.
в) Если R = 5:
- r = 5/3.
ответ:
a) r = 1/3;
б) r = 2/3;
в) r = 5/3.