дано:
- основание трапеции a и b.
- через середину одной из боковых сторон можно провести прямую, которая делит трапецию на два четырехугольника с вписанными окружностями.
найти:
длину другой боковой стороны трапеции.
решение:
1. Пусть AB и CD — основания трапеции, где AB = a, CD = b. Обозначим боковые стороны как AD и BC, где AD = x (то есть ту сторону, через середину которой мы проводим прямую), а BC = y.
2. Для того чтобы каждый из получившихся после деления четырехугольников имел вписанную окружность, необходимо, чтобы выполнялось равенство длин противолежащих сторон.
3. Поскольку мы провели прямую через середину боковой стороны AD, она будет делить трапецию на два четырехугольника. Позже обозначим их как Q1 и Q2.
4. Для четырехугольника Q1, имеющего стороны:
- AB = a,
- BC = y,
- CD = m (оставшийся отрезок),
- AD/2 = x/2.
Условие для вписанной окружности:
a + m = x/2 + y.
5. Для четырехугольника Q2, имеющего стороны:
- AB = a,
- AD = x,
- CD = b,
- BC/2 = y/2.
Условие для вписанной окружности:
a + x/2 = b + y.
6. Теперь у нас есть система двух уравнений:
1) a + m = x/2 + y,
2) a + x/2 = b + y.
7. Из второго уравнения выразим y:
y = a + x/2 - b.
8. Подставим это значение y в первое уравнение:
a + m = x/2 + (a + x/2 - b).
9. Упрощаем уравнение:
a + m = a + x/2 - b + x/2,
m = x - b.
10. Следовательно, поскольку Q1 и Q2 имеют вписанные окружности, то из условия видно, что длина другой боковой стороны будет равна:
x = b + m.
11. В конечном итоге, длина боковой стороны:
y = a + m - b.
12. Таким образом, можно выразить длину другой боковой стороны через известные значения a и b.
ответ:
y = a + b.