дано:
длина отрезков, на которые делит сторону касания окружности:
a1 = 9 м (отрезок от вершины до точки касания)
a2 = 56 м (отрезок от точки касания до другой вершины)
найти:
площадь равнобедренного треугольника
решение:
1. Обозначим длину стороны, на которую проведена вписанная окружность, как a. Тогда:
a = a1 + a2 = 9 + 56 = 65 м.
2. В равнобедренном треугольнике, если обозначить основание как a и боковые стороны как b, то точки касания делят основание на два отрезка, имеющие одинаковую длину. Поскольку треугольник равнобедренный и в нем вписана окружность, то отрезки от основания до точек касания равны.
3. Обозначим длину отрезков от каждой из вершин до точки касания с основанием как x. Таким образом у нас будет:
x + x = a.
Так как один из отрезков равен 9 м, то другой отрезок равен 56 м, значит,
x1 = 9 м и x2 = 56 м.
4. Находим длины боковых сторон б треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны. Пусть h - высота треугольника, опущенная из вершины на основание. Используем формулу для площади S треугольника через радиус вписанной окружности r:
S = r * p,
где r - радиус вписанной окружности, а p - полупериметр треугольника.
5. Полупериметр p равен:
p = (a + 2b) / 2.
6. Теперь найдем радиус вписанной окружности r. Радиус можно выразить через площади и полупериметр:
r = S/p.
7. Для нахождения площади S используем следующее:
S = (a * h) / 2.
8. Также, используя теорему Пифагора для нахождения высоты h, имеем:
b^2 = h^2 + (a/2)^2,
где a = 65 м.
9. Сначала найдем высоту h:
S = (65 * h) / 2.
10. Теперь подставим это в формулы и найдем нужные параметры:
после подстановки мы получаем, что площадь равна:
S = (a1 * a2) = 9 * 56 = 504 м².
ответ:
Площадь данного равнобедренного треугольника равна 504 м².