Дано:
Четырёхугольник ABCD, точки M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
Найти:
Площадь четырёхугольника MNPQ.
Решение:
1. Обозначим площади треугольников:
Пусть S(ABCD) — площадь четырёхугольника ABCD.
2. Поскольку M, N, P и Q являются срединами сторон, можно использовать свойства средних линий.
Напомним, что соединение середины двух сторон параллелограмма (или любого четырёхугольника) образует новый четырёхугольник, который равен половине площадей исходного четырёхугольника.
3. Разделим четырёхугольник ABCD на два треугольника по диагонали AC:
S(ABD) и S(CD).
Площадь каждого из этих треугольников будет равна половине площади ABCD:
S(ABD) = 0.5 * S(ABCD)
S(CD) = 0.5 * S(ABCD).
4. Теперь используем формулу для площади нового четырёхугольника MNPQ.
По свойству средней линии, площадь MNPQ будет равна половине площади каждого из треугольников, образованных точками M, N, P и Q.
Таким образом:
S(MNPQ) = 0.5 * S(ABD) + 0.5 * S(CD)
S(MNPQ) = 0.5 * (0.5 * S(ABCD)) + 0.5 * (0.5 * S(ABCD))
S(MNPQ) = 0.25 * S(ABCD) + 0.25 * S(ABCD)
S(MNPQ) = 0.5 * S(ABCD).
Ответ:
Площадь четырёхугольника MNPQ равна половине площади четырёхугольника ABCD.