дано:
Выпуклый четырехугольник ABCD. Середины его сторон K, L, M, N.
найти:
Доказать, что площадь четырёхугольника KLMN вдвое меньше площади четырёхугольника ABCD.
решение:
1. Рассмотрим четырехугольник ABCD и проведем диагонали AC и BD. Они пересекаются в точке O.
2. Обозначим площади треугольников, образованных этими диагоналями: S_AOB, S_BOC, S_COD, S_DOA.
3. Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей этих треугольников:
S_ABCD = S_AOB + S_BOC + S_COD + S_DOA.
4. Теперь рассмотрим четыре треугольника, образованные серединами сторон: треугольники KAO, KBO, LCO и LDO.
5. Поскольку K, L, M, N - середины сторон, то по свойству средних линий (параллельным отрезкам) выполняется следующее:
KL || AB, KM || AD, LN || CD, MN || BC.
6. Площадь каждого из маленьких треугольников (например, KAO) составляет половину площади соответствующего треугольника ABCD, так как высоты этих треугольников совпадают и основание (отрезок KA) является половиной отрезка AB.
7. Таким образом, можно записать:
S_KLMN = 1/2 * (S_AOB + S_COD) + 1/2 * (S_BOC + S_DOA).
8. Следовательно, общая площадь четырехугольника KLMN будет равна:
S_KLMN = 1/2 * S_ABCD.
Таким образом, мы доказали, что площадь четырёхугольника KLMN вдвое меньше площади четырехугольника ABCD.
ответ:
Площадь четырехугольника KLMN вдвое меньше площади четырехугольника ABCD.