дано:
равнобокая трапеция ABCD, где AB и CD – основания, AD и BC – боковые стороны. Трапеция описана около окружности, что означает, что сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон: AB + CD = AD + BC. Обозначим угол DAB как тупой угол.
найти:
доказать, что биссектрисиса угла DAB делит площадь трапеции ABCD пополам.
решение:
1. Площадь трапеции можно выразить через её основания и высоту h:
S = (AB + CD) * h / 2.
2. Пусть биссектрисса угла DAB пересекает сторону CD в точке E. Отметим, что так как трапеция равнобокая, угол DAB равен углу ABC. Следовательно, треугольники ADE и BCE являются подобными.
3. Из свойств биссектрисы следует, что:
AE / EC = AD / BC.
4. Обозначим длины оснований как b1 = AB, b2 = CD, и длины боковых сторон как a1 = AD, a2 = BC. С учетом условия AB + CD = AD + BC, можем записать:
b1 + b2 = a1 + a2.
5. Обозначим площади треугольников ABE и CDE:
S1 = S(ABE) = (b1 * h1) / 2,
S2 = S(CDE) = (b2 * h2) / 2,
где h1 и h2 - высоты от точек E на основания AB и CD соответственно.
6. По аналогии, площадь верхней части (треугольник ABE) может быть выражена как:
S1 = (b1 * h1) / 2,
а площадь нижней части (треугольник CDE):
S2 = (b2 * h2) / 2.
7. Так как AE / EC = AD / BC и поскольку AD = BC (в равнобокой трапеции), следовательно, AE = EC, и высоты h1 и h2 будут также равны.
8. Таким образом:
S1 = S2.
9. Общая площадь трапеции S делится на две равные части:
S1 + S2 = S / 2 + S / 2 = S.
ответ:
Из вышеизложенного следует, что биссектрисса тупого угла DAB делит площадь равнобокой трапеции ABCD пополам.