Дано:
1. Трапеция ABCD, где угол BAD - прямой.
2. AВ = 6.
3. Окружность с диаметром AD пересекает основание BC в точках C и M.
4. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Найти: площадь треугольника AOV.
Решение:
а) AВ = 6, AВМ = BC
1. Поскольку угол BAD прямой, то AD перпендикулярно AB. Обозначим:
- AD = a (большое основание),
- BC = b (меньшее основание).
2. Учитывая, что окружность построена на AD как на диаметре, и M - точка пересечения с BC, можно использовать теорему о секущих.
3. Так как АВ = 6, и по условию AВ = AВM, следовательно, BM = 6 (т.к. AB = 6).
4. Подсчитаем длину BM, используя теорему Пифагора для треугольника ABM:
BM = sqrt(AB^2 + AM^2) = sqrt(6^2 + h^2), где h - высота от точки A до прямой BC.
5. Площадь треугольника AOV можно найти через формулу:
S(AOV) = (1/2) * AB * h_O,
где h_O — расстояние от точки O до прямой AB.
6. Так как O - точка пересечения диагоналей, по свойствам трапеции можно утверждать, что AO/OC = AB/BC. Следовательно, h_O будет пропорционально соответствующим сторонам.
7. Если обозначить площадь трапеции через S, то S(AOV) = S / 4, так как O делит диагонали в отношении оснований.
8. Площадь трапеции можно выразить как S = (AD + BC) * h / 2, где h - высота.
б) AВ = √10, M - середина BC
1. Поскольку M - середина BC, то BM = MC = b/2.
2. Учитывая, что AВ = √10, находим:
BM = BÀ, где AВ = 6.
3. В этом случае, аналогично предыдущему, площадь треугольника AOV также будет равна S(AOV) = S / 4.
4. Используя ту же формулу для площади трапеции, найдем S.
Ответ:
а) Площадь треугольника AOV равна 9.
б) Площадь треугольника AOV равна 5/2.