В треугольнике ABC на стороне АВ выбрана точка М таким образом, что AM : MB = 3 : 2, а на отрезке СМ выбрана точка N такая, что MN : NC

В треугольнике ABC на стороне АВ выбрана точка М таким образом, что AM : MB = 3 : 2, а на отрезке СМ выбрана точка N такая, что MN : NC =1:2. Оказалось, что SВnc = 22. Найдите площадь треугольника: а) МВС; б) ABC.
от

1 Ответ

Дано:
1. Треугольник ABC.
2. Точка M на стороне AB такая, что AM : MB = 3 : 2.
3. Точка N на отрезке CM такая, что MN : NC = 1 : 2.
4. Площадь треугольника SBNC = 22.

Найти:
a) Площадь треугольника MBC.
b) Площадь треугольника ABC.

Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
   - Пусть AM = 3k и MB = 2k, тогда AB = AM + MB = 3k + 2k = 5k.
   - Пусть MN = m и NC = 2m, тогда CM = MN + NC = m + 2m = 3m.

2. Найдем площадь треугольника SABC через площади треугольников SBN и SMC.

3. Площадь треугольника SBNC можно выразить через площади SBN и SNC:
   SBN + SNC = SBN + (SBC - SBN) = SBC = SBN + 22 (так как SBNC = SBN + SNC).

4. Теперь найдем площадь SMC:
   Площадь треугольника SMC:
   SMC = (MN / CM) * SBC = (1 / 3) * SBC.

5. Таким образом, получаем:
   SBN = (MB / AB) * SABC = (2k / 5k) * SABC = (2/5) * SABC.

6. Подставим SBN в выражение для SABC:
   SABC = SBN + SBN + 22 = (2/5) * SABC + 22.

7. Переписываем уравнение:
   (1 - 2/5) * SABC = 22,
   (3/5) * SABC = 22,
   SABC = 22 * (5/3) = 110/3.

8. Теперь найдем MBC:
   SMC = (MN / CM) * SBC = (1 / 3) * SBC = (1 / 3) * ((2/5) * SABC) = (2/15) * SABC.

9. Подставляем значение SABC:
   SMC = (2/15) * (110/3) = 220/45 = 44/9.

Ответ:
a) Площадь треугольника MBC равна 44/9.
b) Площадь треугольника ABC равна 110/3.
от

Похожие вопросы