а) Дано: два прямоугольных треугольника с равными площадями S1 = S2.
Найти: равенство треугольников.
Решение:
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
S = (1/2) * a * b, где a и b — катеты.
Если площади этих треугольников равны, то:
(1/2) * a1 * b1 = (1/2) * a2 * b2.
Отсюда:
a1 * b1 = a2 * b2.
Однако это не означает, что треугольники равны, так как могут быть разные длины катетов, но при этом одинаковая площадь. Например, треугольники со сторонами 3 и 4, и 6 и 2 имеют одинаковую площадь, но не равны.
Ответ: прямоугольные треугольники с равными площадями не обязательно равны.
б) Дано: два равнобедренных треугольника с равными площадями S1 = S2.
Найти: равенство треугольников.
Решение:
Площадь равнобедренного треугольника можно выразить через основание и высоту:
S = (1/2) * a * h, где a — основание, h — высота.
Если площади равны:
(1/2) * a1 * h1 = (1/2) * a2 * h2.
Отсюда:
a1 * h1 = a2 * h2.
Как и в предыдущем случае, равные площади не гарантируют равенство треугольников, так как они могут иметь одинаковую площадь при разных основаниях и высотах.
Ответ: равнобедренные треугольники с равными площадями не обязательно равны.
в) Дано: два равносторонних треугольника с равными площадями S1 = S2.
Найти: равенство треугольников.
Решение:
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
S = (sqrt(3) / 4) * a^2, где a — сторона треугольника.
Если площади равны:
(sqrt(3) / 4) * a1^2 = (sqrt(3) / 4) * a2^2.
Убираем общий множитель:
a1^2 = a2^2.
Из этого следует, что a1 = a2, так как стороны равностороннего треугольника положительны.
Ответ: равносторонние треугольники с равными площадями равны.