Дано:
Стороны треугольника ABC: AB = 2, AC = 5, BC = 6.
Найдем расстояние от вершины B до точки пересечения высот (ортогонального центра) треугольника.
Найти:
Расстояние от точки B до ортоцентра H треугольника ABC.
Решение:
1. Сначала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона. Для этого вычислим полупериметр:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (2 + 5 + 6) / 2 = 6.5.
2. Теперь найдем площадь S:
S = sqrt(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC))
= sqrt(6.5 * (6.5 - 2) * (6.5 - 5) * (6.5 - 6))
= sqrt(6.5 * 4.5 * 1.5 * 0.5)
= sqrt(6.5 * 3.375)
= sqrt(21.9375) ≈ 4.67.
3. Теперь найдем высоты треугольника. Высота h_a, проведенная из вершины A к стороне BC:
h_a = (2 * S) / BC = (2 * 4.67) / 6 = 1.56.
4. Высота h_b, проведенная из вершины B к стороне AC:
h_b = (2 * S) / AC = (2 * 4.67) / 5 = 1.87.
5. Высота h_c, проведенная из вершины C к стороне AB:
h_c = (2 * S) / AB = (2 * 4.67) / 2 = 4.67.
6. Теперь найдем координаты вершин треугольника. Пусть A(0, 0), B(2, 0). Для нахождения координат C используем теорему Пифагора:
C_x^2 + C_y^2 = 25 (для AC).
(C_x - 2)^2 + C_y^2 = 36 (для BC).
7. Решим систему уравнений:
C_x^2 + C_y^2 = 25
C_x^2 - 4C_x + 4 + C_y^2 = 36.
Подставляем первое уравнение во второе:
25 - 4C_x + 4 = 36
-4C_x + 29 = 36
C_x = -1.75.
8. Найдем C_y:
(-1.75)^2 + C_y^2 = 25
3.0625 + C_y^2 = 25
C_y^2 = 21.9375
C_y ≈ 4.67.
9. Теперь координаты C(-1.75, 4.67).
10. Ортогонцентр H можно найти как среднее арифметическое координат вершин с учетом длин сторон:
H_x = (AB * A_x + AC * C_x + BC * B_x) / (AB + AC + BC)
= (2 * 0 + 5 * -1.75 + 6 * 2) / (2 + 5 + 6)
= (-8.75 + 12) / 13 ≈ 0.15.
H_y = (AB * A_y + AC * C_y + BC * B_y) / (AB + AC + BC)
= (2 * 0 + 5 * 4.67 + 6 * 0) / 13
= 23.35 / 13 ≈ 1.80.
11. Теперь найдем расстояние от точки B(2, 0) до точки H(0.15, 1.80):
d(B, H) = sqrt((H_x - B_x)^2 + (H_y - B_y)^2)
= sqrt((0.15 - 2)^2 + (1.80 - 0)^2)
= sqrt((-1.85)^2 + (1.80)^2)
= sqrt(3.4225 + 3.24)
= sqrt(6.6625) ≈ 2.58.
Ответ:
Расстояние от вершины B до точки пересечения высот треугольника ABC составляет примерно 2.58.