Дано:
Треугольник ABC с вершинами A, B, C. На сторонах AN, HC и AC выбраны точки C', A' и B' соответственно. Радиусы окружностей, описанных около треугольников AС'B', BС'A и CА'B' равны.
Найти:
Докажите, что треугольники ABC и A'B'C' подобны.
Решение:
1. Обозначим радиус окружности, описанной около треугольников AС'B', BС'A и CА'B' как R. По условию задачи R(AС'B') = R(BС'A) = R(CА'B') = R.
2. По формуле радиуса окружности, описанной около треугольника, имеем:
R = (abc) / (4S), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.
3. Рассмотрим треугольник AС'B':
- Стороны: AС', C'B, AB.
- Площадь S(AС'B') = (1/2) * AС' * B * sin(α), где α – угол ACB.
4. Аналогично для треугольника BС'A:
- Стороны: BС', C'A, BA.
- Площадь S(BС'A) = (1/2) * BС' * A * sin(β), где β – угол ABC.
5. И для треугольника CА'B':
- Стороны: CА', A'B, AC.
- Площадь S(CА'B') = (1/2) * CА' * B * sin(γ), где γ – угол CAB.
6. Учитывая, что радиусы описанных окружностей равны, можно записать:
(AС' * AB * sin(α)) / (4 * S(AС'B')) = (BС' * BA * sin(β)) / (4 * S(BС'A)) = (CА' * AC * sin(γ)) / (4 * S(CА'B')).
7. Так как радиусы окружностей равны, следовательно, треугольники AС'B', BС'A и CА'B' имеют одинаковое отношение сторон к соответствующим углам.
8. Это приводит к тому, что углы между сторонами треугольников также равны:
∠AС'B' = ∠BС'A = ∠CА'B'.
9. Таким образом, имея равные углы и пропорциональные стороны, мы можем заключить, что треугольники ABC и A'B'C' подобны по критерию равенства углов.
Ответ:
Треугольники ABC и A'B'C' подобны.