Дано:
Треугольник ABC. Биссектрисса угла A делит высоту BH, проведённую из вершины B, в отношении 13:5, считая от вершины B. Сторона BC равна 36.
Найти:
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим длину высоты BH как h. Тогда по условию, отрезок BM (часть высоты до биссектриссы) и отрезок MH (часть высоты после биссектриссы) находятся в отношении 13:5.
Обозначим длину BM как 13x и длину MH как 5x. Тогда:
h = BM + MH = 13x + 5x = 18x.
2. Теперь мы можем выразить x через h:
x = h / 18.
Тогда BM = 13h / 18 и MH = 5h / 18.
3. По теореме о биссектрисе:
AB / AC = BM / MH = 13 / 5.
Обозначим AB = 13k и AC = 5k для некоторого k > 0.
4. Найдем периметр треугольника ABC:
P = AB + AC + BC = 13k + 5k + 36 = 18k + 36.
5. Найдем площадь треугольника ABC через высоту и основание:
S = (1/2) * BC * h = (1/2) * 36 * h = 18h.
6. Запишем формулу для радиуса R окружности, описанной вокруг треугольника ABC:
R = (abc) / (4S).
где a = BC = 36, b = AC = 5k, c = AB = 13k.
7. Подставим известные значения:
R = (36 * 5k * 13k) / (4 * 18h).
Упростим выражение:
R = (2340k^2) / (72h) = (39k^2) / (12h) = (13k^2) / (4h).
8. Теперь нам нужно найти значение h в terms of k. Используем соотношение между сторонами и высотой:
Площадь S также можно выразить как:
S = (1/2) * AB * MH = (1/2) * 13k * (5h / 18) = (65kh) / 36.
Приравняем две формулы для площади:
18h = (65kh) / 36.
Умножим обе стороны на 36:
648h = 65kh.
Если h не равно 0, то можем сократить на h:
648 = 65k => k = 648 / 65 = 9.96 (приблизительно).
9. Теперь подставим k в формулу для радиуса:
R = (13 * (648/65)^2) / (4h).
Вместо h подставим 18x:
h = 18 * (648 / 65) / 18 = 648 / 65.
10. Подставляем все известные значения и вычисляем радиус:
R = (13 * (648/65)^2) / (4 * (648/65)) = (13 * 648) / (4 * 65).
Вычисляем:
R = (8448) / (260) = 32.5.
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 32.5.