Дано:
Сторона равностороннего треугольника a = 6 м.
Точка делит противоположную сторону в отношении 2:1.
Найти:
Длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой деления.
Решение:
Обозначим вершины треугольника A, B и C. Пусть A - вершина треугольника, а BC - основание. Точка D делит сторону BC в отношении 2:1. Это означает, что BD : DC = 2 : 1.
Сначала найдем координаты точек. Пусть:
- A(0, h) - вершина треугольника,
- B(-3, 0) и C(3, 0) - основания.
Для нахождения высоты h равностороннего треугольника используем формулу:
h = (sqrt(3)/2) * a.
h = (sqrt(3)/2) * 6 = 3 * sqrt(3).
Теперь найдем координаты точки D. Поскольку D делит отрезок BC в отношении 2:1, координаты D можно найти по формуле:
x_D = (2*x_C + 1*x_B) / (2 + 1),
y_D = (2*y_C + 1*y_B) / (2 + 1).
Подставим значения:
x_D = (2*3 + 1*(-3)) / 3 = (6 - 3) / 3 = 1.
y_D = (2*0 + 1*0) / 3 = 0.
Таким образом, координаты точки D равны D(1, 0).
Теперь найдем длину отрезка AD:
AD = sqrt((x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2).
AD = sqrt((0 - 1)^2 + (3*sqrt(3) - 0)^2).
Теперь подставим значения:
AD = sqrt(1^2 + (3*sqrt(3))^2)
AD = sqrt(1 + 27)
AD = sqrt(28)
AD = 2*sqrt(7).
Ответ: длина отрезка AD равна 2*√(7) м.