Дано:
- Ромб ABCD.
- Угол при вершине A равен 60°.
- Отношение AN : BN = 2 : 1.
Найти: тангенс угла DNC.
Решение:
1. Обозначим длину стороны ромба как a. Тогда все стороны AB, BC, CD и DA равны a.
2. Вычислим угол B, который равен 120°, так как сумма углов в ромбе составляет 360°, и противоположные углы равны.
3. Поскольку N делит отрезок AB в отношении 2:1, длина отрезка AN будет равна (2/3)a, а длина отрезка BN будет равна (1/3)a.
4. Для нахождения координат точек воспользуемся системой координат:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a/2, a√3/2) (из-за угла 60°, высота равна a√3/2)
- D(-a/2, a√3/2)
5. Найдем координаты точки N:
N = (2/3 * a, 0)
6. Теперь найдем координаты точки D:
D = (-a/2, a√3/2)
7. Для нахождения угла DNC воспользуемся векторным методом.
Вектор DN = N - D = ((2/3)a - (-a/2), 0 - (a√3/2))
= (2/3)a + (1/2)a, -a√3/2
= (4/6)a + (3/6)a, -a√3/2
= (7/6)a, -a√3/2
Вектор CN = N - C = ((2/3)a - (a/2), 0 - (a√3/2))
= (2/3)a - (3/6)a, -a√3/2
= (4/6)a - (3/6)a, -a√3/2
= (1/6)a, -a√3/2
8. Теперь найдем тангенс угла DNC. Тангенс угла между двумя векторами можно найти по формуле:
tan(угол) = |y1/x1| / |y2/x2|
Где (x1, y1) - координаты вектора DN, (x2, y2) - координаты вектора CN.
Подставляем значения:
tan(DNC) = |(-a√3/2)/(7/6)a| / |(-a√3/2)/(1/6)a|
Сократим a:
tan(DNC) = |(-√3/2)/(7/6)| / |(-√3/2)/(1/6)|
tan(DNC) = |(-√3/2) * (6/7)| / |(-√3/2) * (6/1)|
tan(DNC) = |6√3/(14)| / |6√3|
tan(DNC) = (6√3 / 14) / (6√3) = 1/14.
Ответ: тангенс угла DNC равен 1/14.