Дано:
- радиус окружности R = 4 м,
- угол между диаметром АК и хордой АВ равен 22,5°.
Найти: длину медианы AM треугольника ABC.
Решение:
1. Определим длину диаметра АК:
D = 2R = 2 * 4 = 8 м.
2. Построим координатную систему. Пусть:
- точка A будет на (0, 4),
- точка K будет на (0, -4),
- точка B будет находиться по углу 22,5° от диаметра АК.
3. Найдем координаты точки B. Для этого используем тригонометрию:
угол AOB = 22,5°, где O - центр окружности.
xB = R * sin(22,5°) = 4 * sin(22,5°),
yB = R * cos(22,5°) = 4 * cos(22,5°).
Теперь вычислим значения:
sin(22,5°) ≈ 0,3827,
cos(22,5°) ≈ 0,9239.
Подставляем:
xB = 4 * 0,3827 ≈ 1,5308,
yB = 4 * 0,9239 ≈ 3,6956.
Таким образом, координаты точки B:
B ≈ (1,53, 3,70).
4. Для точек A и K мы имеем:
A = (0, 4),
K = (0, -4).
5. Теперь найдем координаты точки C. Точка C лежит на продолжении диаметра АК, следовательно, она имеет координаты:
C = (xB, -yB) = (1,53, -3,70).
6. Теперь мы можем найти длины сторон треугольника ABC:
- AB = sqrt((xB - 0)^2 + (yB - 4)^2) = sqrt((1,53 - 0)^2 + (3,70 - 4)^2).
- AB ≈ sqrt(1,53^2 + (-0,30)^2) = sqrt(2,3409 + 0,09) = sqrt(2,4309) ≈ 1,56 м.
- BC = sqrt((xC - xB)^2 + (yC - yB)^2) = sqrt((1,53 - 1,53)^2 + (-3,70 - 3,70)^2).
- BC = sqrt(0 + (-7,40)^2) = 7,40 м.
- AC = sqrt((xC - 0)^2 + (yC - 4)^2) = sqrt((1,53 - 0)^2 + (-3,70 - 4)^2).
- AC = sqrt(1,53^2 + (-7,70)^2) = sqrt(2,3409 + 59,29) = sqrt(61,63) ≈ 7,85 м.
7. Длина медианы AM вычисляется по формуле:
m = 1/2 * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2).
Подставляем данные:
m = 1/2 * sqrt(2 * 1,56^2 + 2 * 7,85^2 - 7,40^2).
m = 1/2 * sqrt(2 * 2,4336 + 2 * 61,6225 - 54,76).
m = 1/2 * sqrt(4,8672 + 123,245 - 54,76).
m = 1/2 * sqrt(73,3522) ≈ 4,28 м.
Ответ: длина медианы AM треугольника ABC примерно равна 4,28 м.