Дано:
- Отрезок АВ — диаметр окружности.
- АС — хорда.
- АЕ — касательная.
- Луч AE образует с хордой АС острый угол ∠САЕ.
Найти:
доказать, что ∠АВС = ∠ЕАС.
Решение:
1. Поскольку АВ — диаметр окружности, угол ∠АВС является прямым, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. То есть:
∠АВС = 90°.
2. Касательная к окружности в точке С перпендикулярна радиусу ОС, то есть:
∠ЕСО = 90°.
3. Рассмотрим угол ∠ЕАС. По свойству касательной, угол между касательной AE и хордой АС равен углу между хордой АС и дугой, на которую она опирается. То есть:
∠ЕАС = ∠АВС (по теореме о касательной и хорде).
4. Таким образом, мы доказали, что ∠АВС = ∠ЕАС.
Ответ:
∠АВС = ∠ЕАС.