Дано:
ABC - треугольник
AC > AB
BM - медиана, проведенная из вершины В
CM - медиана, проведенная из вершины С
AM - медиана, проведенная из вершины А
Доказать:
а) BM < CM б) ∠CAM < ∠BAM
Решение:
а) Доказательство, что BM < CM:
Рассмотрим треугольники ABM и ACM:
AM - общая сторона
AB < AC (по условию)
BM = CM (по определению медианы)
Применяем теорему о неравенстве треугольников:
В треугольнике ABM сторона AB меньше стороны AC, поэтому угол BAM больше угла BAM.
Следовательно, в треугольнике AMC угол ACM меньше угла ACM.
Из неравенства углов в треугольниках ABM и ACM следует, что:
BM < CM (теорема о том, что боковые стороны треугольника, противолежащие большему углу, больше).
б) Доказательство, что ∠CAM < ∠BAM:
Рассмотрим треугольник ABC:
AC > AB (по условию)
∠ABC > ∠ACB (теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол).
Рассмотрим треугольники BAM и CAM:
AM - общая сторона
BM = CM (по определению медианы)
∠BAM = ∠BAC - ∠CAM, ∠CAM = ∠BAC - ∠BAM
∠ABC = ∠BAC + ∠ACB, ∠ACB = ∠ABC - ∠BAC
Подставляем значения углов в формулы для углов BAM и CAM:
∠BAM = ∠BAC - ∠CAM = ∠ABC - ∠ACB - ∠CAM = ∠ABC - ∠BAC - (∠ABC - ∠BAC) = 0
∠CAM = ∠BAC - ∠BAM = ∠BAC - 0 = ∠BAC
Следовательно, ∠CAM = ∠BAC, ∠BAM = 0, и ∠CAM < ∠BAM.
Ответ:
Доказано, что BM < CM и ∠CAM < ∠BAM.