Дано: высота равнобедренной трапеции h = 8, отрезки большей базы, на которые высота делит её, равны 6 и 15.
Найти: радиус окружности, описанной около этой трапеции.
1. Обозначим:
- большее основание AB = 6 + 15 = 21.
- меньшее основание CD.
- длину боковых сторон AD и BC, которые равны.
2. Найдём длину меньшего основания CD.
- Пусть x - длина отрезка, на который меньшая база CD делит отрезок, перпендикулярный к ней. Тогда:
- x = 15 - 6 = 9.
- Меньшее основание CD = 21 - 2 * x = 21 - 2 * 9 = 3.
3. Теперь можно найти длину боковых сторон.
- Используем теорему Пифагора для треугольников ABD и ADC. В каждом из них:
- AD^2 = h^2 + (AB/2 - x)^2
- где x = 9, значит AB/2 = 10.5
- AD^2 = 8^2 + (10.5 - 9)^2
- AD^2 = 64 + (1.5)^2
- AD^2 = 64 + 2.25
- AD^2 = 66.25
- AD = √66.25 = 8.125.
4. Теперь применим формулу для нахождения радиуса окружности, описанной около трапеции:
- R = (AB + CD)/(2 * sin(∠A)),
- где ∠A - угол между основанием и боковой стороной, который можно найти из:
- sin(∠A) = h / AD = 8 / 8.125.
5. Найдём sin(∠A):
- sin(∠A) = 8 / 8.125 ≈ 0.983.
6. Подставим в формулу радиуса R:
- R = (21 + 3)/(2 * 0.983)
- R = 24 / (2 * 0.983) ≈ 12.19.
Ответ: радиус окружности, описанной около трапеции, равен примерно 12.19.