Question

В четырёхугольнике ABCD диагонали АС и ВD  пересекаются в точке О. Длины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD равны 3, 4, 5 и 6 соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если угол между его диагоналями равен 60°.

Answer 1

Дано:

- ОА = 3
- ОВ = 4
- ОС = 5
- OD = 6
- угол между диагоналями AС и BД = 60°

Найти: периметр четырёхугольника ABCD.

Решение:

1. Найдем длины сторон AB и CD по формулам для треугольников, образованных диагоналями.

2. Длина стороны AB:
   AB = AO + OB = ОА + ОВ = 3 + 4 = 7.

3. Длина стороны CD:
   CD = OC + OD = ОС + OD = 5 + 6 = 11.

4. Теперь необходимо найти длины сторон AD и BC. Для этого используем теорему о косинусах в треугольниках AOD и BOC.

5. В треугольнике AOD:
   AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 * OA * OD * cos(60°).
   AD^2 = 3^2 + 6^2 - 2 * 3 * 6 * 0.5.
   AD^2 = 9 + 36 - 18.
   AD^2 = 27.
   AD = sqrt(27) = 3√3.

6. В треугольнике BOC:
   BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 * OB * OC * cos(60°).
   BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 * 4 * 5 * 0.5.
   BC^2 = 16 + 25 - 20.
   BC^2 = 21.
   BC = sqrt(21).

7. Теперь найдем периметр ABCD:
   P = AB + BC + CD + AD.
   P = 7 + sqrt(21) + 11 + 3√3.

Ответ:
Периметр четырёхугольника ABCD равен 18 + √(21) + 3√3.