Дано:
Треугольник ABC
AB = 5
AC = 7
∠A = 60°
I - центр вписанной окружности
Найти:
R - радиус окружности, проходящей через точки B, C, I
Решение:
Найдем сторону BC:
Используем теорему косинусов для треугольника ABC:
BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cos∠A
BC² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * cos(60°)
BC² = 25 + 49 - 70 * (1/2)
BC² = 34
BC = √34
Найдем полупериметр треугольника ABC:
p = (AB + AC + BC)/2 = (5 + 7 + √34)/2 = 6 + √34/2
Найдем радиус вписанной окружности:
Используем формулу: r = S/p, где S - площадь треугольника.
S = (1/2) * AB * AC * sin∠A = (1/2) * 5 * 7 * sin(60°) = (35√3)/4
r = (35√3)/4 / (6 + √34/2) = (35√3) / (24 + √34)
Рассмотрим треугольник BIC:
∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB
∠IBC = (∠ABC)/2 = 60°/2 = 30°
∠ICB = (∠ACB)/2
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°
∠ICB = (120°)/2 = 60°
Следовательно, ∠BIC = 180° - 30° - 60° = 90°
Используем теорему синусов для треугольника BIC:
BC / sin(∠BIC) = 2R
R = (BC * sin(∠BIC)) / 2
R = (√34 * sin(90°)) / 2 = √34 / 2
Ответ:
R = √34 / 2