Дано:
Треугольник ABC
ВМ - медиана треугольника ABC
Вписанная окружность делит ВМ на три равные части
Найти:
AB : BC : CA
Решение:
Обозначения:
Пусть точка O - центр вписанной окружности.
Пусть точка K - точка касания вписанной окружности со стороной BC.
Пусть точка L - точка касания вписанной окружной со стороной AB.
Свойства вписанной окружности:
Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.
Радиус вписанной окружности перпендикулярен касательной.
Рассмотрим треугольник BOK:
BK = BL (касательные из точки B)
OK = OL (радиусы вписанной окружности)
∠BKO = ∠BLO = 90°
Следовательно, треугольник BOK = треугольнику BOL (по двум сторонам и углу между ними).
Рассмотрим треугольник BOM:
BM - медиана, следовательно, AM = MC.
BM / 3 = BO (по условию задачи).
∠BOM = ∠BOK + ∠KOM = 90° + ∠KOM.
Рассмотрим треугольник AML:
AL = AK (касательные из точки A)
OL = OK (радиусы вписанной окружности)
∠ALO = ∠AKO = 90°
Следовательно, треугольник AOL = треугольнику AOK (по двум сторонам и углу между ними).
Рассмотрим треугольник AOM:
AM = MC
AO = BO (равноудаленность от сторон)
∠AOM = ∠AOL + ∠LOM = 90° + ∠LOM.
Сравнивая треугольники BOM и AOM:
∠BOM = ∠AOM (по пунктам 4 и 6)
BO = AO (равноудаленность от сторон)
OM - общая сторона.
Следовательно, треугольник BOM = треугольнику AOM (по стороне, углу, стороне).
Следовательно, AB = AC.
Используем формулу для радиуса вписанной окружности:
r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.
В треугольнике ABC:
r = (1/2) * BC * OK = (1/2) * BC * (BM/3) = BC * BM / 6.
Рассмотрим треугольник BMK:
BK = BL (касательные из точки B).
MK = (1/2) * AC = (1/2) * AB (по свойству медианы, AM = MC)
BM = 3 * OK = 3 * (BC * BM / 6) = (1/2) * BC * BM.
Следовательно, BM = (1/2) * BC * BM.
Отсюда получаем, что BC = 2.
Найдем отношение сторон треугольника ABC:
AB = AC
BC = 2
Следовательно, AB : BC : CA = 1 : 2 : 1
Ответ:
AB : BC : CA = 1 : 2 : 1