Дано:
- Окружность, вписанная в треугольник, делит его медиану на три равные части.
Найти:
- Отношение сторон треугольника.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где медиана AM проведена из вершины A к середине стороны BC.
2. Пусть D — середина стороны BC, тогда медиана AD делится на три равные части, то есть:
AD = 3x, где x — длина одной из частей.
3. Длина медианы AD можно выразить через стороны треугольника:
AD = (1/2) * √(2AB² + 2AC² - BC²).
4. Применяя теорему о медианах, в треугольнике ABC можно записать:
AD² = (2AB² + 2AC² - BC²) / 4.
5. Так как AD = 3x, то имеем:
(3x)² = (2AB² + 2AC² - BC²) / 4.
6. Перепишем уравнение:
9x² = (2AB² + 2AC² - BC²) / 4.
7. Умножим обе стороны на 4:
36x² = 2AB² + 2AC² - BC².
8. Теперь учитываем, что в треугольнике, вписанном в окружность, стороны относятся как:
AB : AC : BC = k : k : k, где k — постоянный коэффициент.
9. Подставим в уравнение:
36x² = 2k² + 2k² - k² = 3k².
10. Получаем:
36x² = 3k²,
k² = 12x²,
k = 2√3x.
11. Таким образом, отношение сторон треугольника будет равно:
AB : AC : BC = 2 : 2 : 1.
Ответ:
Отношение сторон треугольника равно 2 : 2 : 1.