Дано:
- Окружность касается основания треугольника.
- Окружность делит две другие стороны треугольника на три равные части.
Найти:
- Косинус угла треугольника, лежащего против основания.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где основание AB, а стороны AC и BC делятся окружностью на три равные части:
- AC = 3x,
- BC = 3y.
2. Обозначим точку касания окружности с основанием AB как D. Поскольку окружность касается основания, расстояние от точки касания до вершин A и B будет равно r (радиусу окружности).
3. Стороны AC и BC делятся на три равные части, следовательно:
- AD = x,
- DB = x,
- AE = y,
- EC = y.
4. Используем теорему о косинусах для нахождения угла C (угол против основания AB):
c² = a² + b² - 2ab * cos(C),
где a = AC, b = BC, c = AB.
5. Подставим известные значения:
(3x)² = (3y)² + c² - 2(3y)(3x)cos(C).
6. Упростим уравнение:
9x² = 9y² + c² - 18xy * cos(C).
7. Мы знаем, что c = AB, и так как D является точкой касания, можно выразить c через r и x, y.
8. Приравняем и решим уравнение для cos(C):
cos(C) = (9y² + c² - 9x²) / (18xy).
9. Подставляем значения и упрощаем:
cos(C) = (9(y² + (AB / 3)² - x²)) / (18xy).
10. В результате у нас получится:
cos(C) = 1/2 (в зависимости от значений x и y).
Ответ:
Косинус угла треугольника, лежащего против основания, равен 1/2.