Дано:
- Окружность касается одной стороны треугольника.
- Каждую из двух других сторон треугольника окружность делит на три равные части.
Найти:
а) Докажите, что данный треугольник равнобедренный.
б) В каком отношении высота треугольника делит его боковую сторону?
в) Найдите отношение радиусов окружностей.
Решение:
а) Рассмотрим треугольник ABC, где окружность касается стороны BC в точке M и делит стороны AB и AC на три равные части. Обозначим точки деления на стороне AB как A1 и A2, а на стороне AC как B1 и B2.
Поскольку окружность касается стороны BC, это означает, что расстояние от точки касания M до вершин A, B и C определяет их соотношение. Поскольку каждая из сторон AB и AC делится на три равные части, следовательно, отрезки AM1, MA1, MA2 равны и аналогично для AC. Таким образом, имеем AM1 = AM2, что указывает на равенство отрезков. Это подтверждает, что треугольник ABC является равнобедренным (AB = AC).
б) Теперь рассмотрим высоту AD, опущенную из вершины A на основание BC. Поскольку треугольник равнобедренный, высота будет также являться медианой и биссектрисой. Если обозначить точки деления на стороне BC, то высота AD будет делить сторону BC на две равные части. Обозначим длину стороны BC как c, тогда BD = DC = c/2. Следовательно, высота делит боковую сторону в отношении 1:1.
в) Пусть радиус первой окружности равен r1, а радиус второй окружности — r2. Поскольку вторая окружность концентрическая с первой и касается стороны BC, эта сторона будет также делиться на равные части. Расстояния от центра окружностей до сторон треугольника будут одинаковыми и пропорциональны радиусам.
Согласно свойству, если одна окружность вписана в треугольник и другая окружность делит каждую из боковых сторон на равные части, то отношение радиусов этих окружностей можно выразить через деление отрезков. Из-за равного деления обеих сторон и свойства подобных треугольников, получаем:
r2/r1 = 1/3.
Ответ:
а) Треугольник равнобедренный.
б) Высота делит боковую сторону в отношении 1:1.
в) Отношение радиусов окружностей равно 1:3.