Дано:
- Радиус окружности r = 1.
- Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на три равные части.
Найти:
- Площадь прямоугольного треугольника.
Решение:
1. Обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Так как гипотенуза делится на три равные части, длина каждой части будет равна:
c/3.
2. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на расстоянии r от каждой стороны. Поскольку r = 1, то высота из вершины к гипотенузе будет равна r.
3. Площадь треугольника можно выразить через его катеты:
S = (1/2) * a * b.
4. Также площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности:
S = r * p, где p — полупериметр треугольника.
5. Полупериметр p выражается как:
p = (a + b + c) / 2.
6. Гипотенуза c выражается через катеты по теореме Пифагора:
c = √(a² + b²).
7. Подставим все известные значения в формулу для площади:
S = r * ((a + b + √(a² + b²)) / 2).
8. Так как радиус r = 1:
S = (1/2) * (a + b + √(a² + b²)).
9. Мы знаем, что гипотенуза делится на три равные части, значит длина гипотенузы будет равна 3. Таким образом, c = 3, и подставляя это в уравнения, мы можем получить соотношения между a и b.
10. Через теорему Пифагора:
a² + b² = 3² = 9.
11. Теперь, используя уравнение для площади:
S = (1/2) * a * b.
12. Подставим a и b через их сумму и произведение. Используя известные соотношения, а также то, что a + b = 3, мы можем найти a и b.
13. Решая систему уравнений, получаем:
S = (1/2) * 3 * 3 = 4.5.
Ответ:
Площадь прямоугольного треугольника равна 4.5.