Дано:
Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза AB = 15 см + 20 см = 35 см. Центр окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Окружность касается катетов.
Найти: радиус окружности.
Решение:
Для нахождения радиуса окружности, которая вписана в прямоугольный треугольник, используется следующая формула:
r = (a + b - c) / 2,
где a и b — катеты треугольника, а c — гипотенуза.
1. Обозначим катеты треугольника как AC = a и BC = b, гипотенузу AB = c. Из условия задачи известно, что центр окружности делит гипотенузу на отрезки 15 см и 20 см, то есть отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.
2. Для того чтобы найти катеты, применим теорему о биссектрисе гипотенузы. Если биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см, то по теореме биссектрисы для прямоугольного треугольника выполняется следующее соотношение:
a / b = 15 / 20 = 3 / 4.
Это означает, что катеты пропорциональны числам 3 и 4. Следовательно, можно записать:
a = 3k и b = 4k,
где k — некоторая величина, которую нам нужно найти.
3. Применим теорему Пифагора для треугольника ABC:
a² + b² = c².
Подставляем выражения для a и b:
(3k)² + (4k)² = 35².
9k² + 16k² = 1225.
25k² = 1225.
k² = 1225 / 25 = 49.
k = 7.
4. Теперь можем найти катеты:
a = 3k = 3 * 7 = 21 см,
b = 4k = 4 * 7 = 28 см.
5. Подставляем значения катетов и гипотенузы в формулу для радиуса:
r = (a + b - c) / 2 = (21 + 28 - 35) / 2 = 14 / 2 = 7 см.
Ответ: радиус окружности равен 7 см.